Проектно-вычислительный комплекс Structure CAD


Сходимость МКЭ


В теории метода конечных элементов большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. асимптотическому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Установлен ряд важных теорем о сходимости, например, для совместных элементов определено [26, стр. 195-196], что если (k-1) является степенью полинома, с помощью которого внутри конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено приближенное решение в перемещениях u*, то ошибка в энергии по сравнению с точным решением u составляет

U(u-u*, u-u*) £ C2h2(k-m)||u||2k ,

где h – максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).

Для  s-х производных z имеем оценки ошибок

||z-z*||s £ Chk-s||z||k  ,   если s > 2m-k ;

||z-z*||s

£ Ch2(k-s)||z||k ,   если s £ 2m-k.

Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И.Д. Евзерова и В.С. Карпиловского (см., например, [8], [13]). Используя эти результаты можно получить оценки сходимости для всех конечных элементов из библиотеки SCAD, которые представлены в таблице 20.1.

Таблица 20.1.   

Тип

Наименование конечного элемента

Показатель степени в оценках скорости сходимости по:

КЭ

ïåðåìå­ùåíèÿìперемещениям

íàïðÿæå­­íèÿìнапряжениям

ìîìåí­òàìмоментам

ïîïåðå÷­íûì ñèëàìпоперечным силам

11,13

Универсальный прямоугольный элемент плиты

2

2

1

12,14

Универсальный треугольный элемент плиты

2

1

0

20

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плиты

2

1

0

21

Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

22

Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

23

Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

24

Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости

2

1

27

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости

2

1

29

Универсальный четырехугольный (от 4 до 12 узлов) элемент плоской задачи теории упругости

2

1

30

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости

2

1

31

Параллелепипед

2

1

32

Тетраэдр

2

1

33

Трехгранная призма

2

1

34

Пространственный изопараметрический шестиузловой элемент

2

1

36

Пространственный изопараметрический восьмиузловой элемент

2

1

37

Пространственный изопараметрический двенадцатиузловой элемент

2

1

41

Универсальный прямоугольный элемент оболочки

2

1

1

0

42

Универсальный треугольный элемент оболочки

2

1

1

0

44

Универсальный четырехугольный элемент оболочки

2

1

1

0

50

Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент оболочки

2

1

1

0

61

Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением

2

1

62

Универсальный кольцевой элемент с треугольным поперечным сечением

2

1

64

Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением (от 4 до 8 узлов)

2

1

71

Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

72

Треугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

73

Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

74

Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны)

2

1

81

Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

82

Треугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

83

Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

84

Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны)

2

1

 

Данные, представленные в таблице 20.1, дают возможность приблизительно назначить требуемую густоту сетки конечных элементов, исходя из такого весьма характерного рассуждения [3, стр.55]: "... заметим лишь, что при естественных ограничениях на исходные данные и сетку области, сходимость имеет место и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где через с

обозначена константа, зависящая от формы области; h

— шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка служит ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности (средней), например, задав точность приближенного решения 5%, нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера...", т.е. для характерного двумерного пятна необходимо иметь около 400 узлов, а в трехмерной задаче – примерно 8000.




Начало  Назад  Вперед