В теории метода конечных элементов большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. асимптотическому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Установлен ряд важных теорем о сходимости, например, для совместных элементов определено [26, стр. 195-196], что если (k-1) является степенью полинома, с помощью которого внутри конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено приближенное решение в перемещениях u*, то ошибка в энергии по сравнению с точным решением u составляет
U(u-u*, u-u*) £ C2h2(k-m)||u||2k ,
где h – максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).
Для s-х производных z имеем оценки ошибок
||z-z*||s £ Chk-s||z||k , если s > 2m-k ;
||z-z*||s
£ Ch2(k-s)||z||k , если s £ 2m-k.
Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И.Д. Евзерова и В.С. Карпиловского (см., например, [8], [13]). Используя эти результаты можно получить оценки сходимости для всех конечных элементов из библиотеки SCAD, которые представлены в таблице 20.1.
Таблица 20.1.
Тип |
Наименование конечного элемента |
Показатель степени в оценках скорости сходимости по: |
|||
КЭ |
ïåðåìåùåíèÿìперемещениям |
íàïðÿæåíèÿìнапряжениям |
ìîìåíòàìмоментам |
ïîïåðå÷íûì ñèëàìпоперечным силам |
|
11,13 |
Универсальный прямоугольный элемент плиты |
2 |
— |
2 |
1 |
12,14 |
Универсальный треугольный элемент плиты |
2 |
— |
1 |
0 |
20 |
Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плиты |
2 |
— |
1 |
0 |
21 |
Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
22 |
Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
23 |
Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
24 |
Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
27 |
Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
29 |
Универсальный четырехугольный (от 4 до 12 узлов) элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
30 |
Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости |
2 |
1 |
— |
— |
31 |
Параллелепипед |
2 |
1 |
— |
— |
32 |
Тетраэдр |
2 |
1 |
— |
— |
33 |
Трехгранная призма |
2 |
1 |
— |
— |
34 |
Пространственный изопараметрический шестиузловой элемент |
2 |
1 |
— |
— |
36 |
Пространственный изопараметрический восьмиузловой элемент |
2 |
1 |
— |
— |
37 |
Пространственный изопараметрический двенадцатиузловой элемент |
2 |
1 |
— |
— |
41 |
Универсальный прямоугольный элемент оболочки |
2 |
1 |
1 |
0 |
42 |
Универсальный треугольный элемент оболочки |
2 |
1 |
1 |
0 |
44 |
Универсальный четырехугольный элемент оболочки |
2 |
1 |
1 |
0 |
50 |
Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент оболочки |
2 |
1 |
1 |
0 |
61 |
Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением |
2 |
1 |
— |
— |
62 |
Универсальный кольцевой элемент с треугольным поперечным сечением |
2 |
1 |
— |
— |
64 |
Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением (от 4 до 8 узлов) |
2 |
1 |
— |
— |
71 |
Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
72 |
Треугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
73 |
Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
74 |
Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
81 |
Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
82 |
Треугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
83 |
Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
84 |
Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) |
2 |
1 |
— |
— |
Данные, представленные в таблице 20.1, дают возможность приблизительно назначить требуемую густоту сетки конечных элементов, исходя из такого весьма характерного рассуждения [3, стр.55]: "... заметим лишь, что при естественных ограничениях на исходные данные и сетку области, сходимость имеет место и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где через с
обозначена константа, зависящая от формы области; h
— шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка служит ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности (средней), например, задав точность приближенного решения 5%, нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера...", т.е. для характерного двумерного пятна необходимо иметь около 400 узлов, а в трехмерной задаче – примерно 8000.