Методы сшивки решений
Если поведение решения вблизи особых точек все же представляет интерес, то возникает необходимость локального уточнения расчетной модели. Типичным примером может служить действие сосредоточенной силы на пластинку, когда в малой окрестности этой силы напряженное состояние является существенно пространственным, а обычные гипотезы теории пластин не выполняются. Возможен переход к трехмерной модели, однако полная замена пластинчатых конечных элементов трехмерными приведет к резкому возрастанию размеров задачи. Следовательно, необходимо комбинирование двухмерной идеализации объекта с уточнениями, выполненными в трех измерениях. Проще всего сделать это методом фрагментации, используя глобально-локальный анализ. Такой анализ, вообще говоря, можно выполнить в трех формах [30]: 1 ? по методу сил, когда на выделенный фрагмент передаются усилия от остальной системы, найденные из глобального расчета; 2 ? по методу перемещений, когда граница фрагмента смещается таким же образом, как в глобальном расчете; и 3 ? смешанным методом. Мы приведем выкладки для первого из указанных подходов.
В упомянутом и других подобных случаях достаточно естественной представляется следующая двухэтапная процедура:
а) пренебрегая локальными особенностями конструктивного решения строится загрубленная расчетная схема первого приближения, которая дает возможность оценить напряженно-деформированное состояние объекта в целом, и выполняется ее расчет;
б) выделяется фрагмент конструкции, содержащий интересующую нас особенность. К этому фрагменту прикладываются реакции, полученные при отбрасывании остальной части конструкции, и силы, непосредственно приложенные к выделенному фрагменту. Фрагмент рассчитывается с использованием более детальной расчетной схемы и из полученного таким образом решения используется та часть, которая относится к точкам, расположенным на некотором удалении от границ фрагмента.
Такой подход согласуется с практикой выбора серии расчетных схем для анализа различных особенностей поведения конструкции [28]. Однако он требует определенной интуиции и опыта для исключения опасности, связанной с наличием неустранимой погрешности решения загрубленной задачи. Представленный ниже анализ возможного происхождения погрешности должен облегчить выбор решений для расчетчика.
20.2.2. Оценка погрешностей
Анализ основан на сопоставлении двух расчетных схем, одна из которых (вообще говоря, воображаемая) является подробной и детализирована в такой степени, что содержит полное описание локальной особенности. Часть именно этой схемы потом рассматривается при расчете фрагмента. Детальная расчетная схема описывается системой уравнений МКЭ в перемещениях
[K]{u} = {p}. (20.1)
Вторая расчетная схема загрублена и удобна для практического анализа. Пусть для нее выбран вектор основных неизвестных {uo}, размерность которого много меньше размерности вектора {u}, и пусть эти векторы связаны интерполяционным соотношением
{u} = [D]{uo}. (20.2)
Тогда сужение матрицы жесткости [K] на загрубленную расчетную схему выглядит как
[Ko] = [D]T[K][D], (20.3)
при этом [Ko] - матрица загрубленной расчетной схемы, для которой
легко строится решение загрубленных уравнений
[Ko]{uo} = [D]T{p} (20.4)
или может быть получена обратная матрица [Ko]-1.
Если считать, что искомое решение {u} может быть представлено через решение системы (20.4) как интерполяция (20.2) с поправкой {d}, то
{u} = [D]{uo} + {d} = [D][Ko]-1[D]T + {d} (20.5)
и подстановка (20.5) в (20.1) дает
[K]{d} = ([E] - [K][D][Ko]-1[D]T){p} = [S]{p}. (20.6)
В силу того, что
[D]T[S] = [D]T - [D]T[K][D][Ko]-1[D]T =
= [D]T
- [Ko][Ko]-1[D]T = [D]T - [D]T
= [0], (20.7)
для любого решения {x} системы разрешающих уравнений (20.1) и для любого решения {xo} системы (20.4) выполняется условие
([D]{xo})Т() = {xo}Т[D]Т[S]{x} = 0. (20.8)
Следовательно, при любой нагрузке {p} вектор правых частей (20.6) ортогонален интерполированному решению (20.2).
Сказанное означает, что при переносе решения с загрубленной расчетной модели на детальную (детализируемый фрагмент) может быть потеряна та часть, которая связана с ортогональным дополнением к подпространству интерполяции, определяемому строками матрицы [D]. Если обратиться к уравнениям (20.4), то видно, что могут быть утеряны компоненты решения для нагрузок, самоуравновешенных внутри фрагмента, поскольку такие нагрузки в загрубленной модели приводятся к нулевым.
Известно, что локально действующие самоуравновешенные нагрузки вносят в решение добавку, затухающую обычно по мере удаления от места их приложения. В этом, собственно, и состоит принципа Сен-Венана и для систем, где этот принцип соблюдается (имеются и такие системы, где он не справедлив [28, c.62]) ошибка локализации будет быстро убывать по мере удаления от источника самоуравновешенных сил. К таким источникам принадлежит и самоуравновешенная часть реакции по границам фрагмента, которая соответствует решению однородной задачи с левой частью уравнений (20.5).
Для оценки скорости убывания ошибки можно рассмотреть задачу о действии самоуравновешенной группы сил (-0,5; +1,0; -0,5), расположенных с шагом s на границе полуплоскости. Точки приложения этих сил соответствуют узлам загрубленной расчетной схемы и характерное расстояние между ними s - шагу расчетной сетки в этой схеме. В точке, расположенной под единичной силой на глубине х, напряжение на горизонтальной площадке будет равно
sxx
= -2/(px)[1 - 1/(1 + 2a2 + a4)], (20.9)
где a = s/x, а величина в квадратных скобках быстро убывает с ростом значения х и уже при х = 3s становится пренебрежимо малой.