Линейная статическая задача
Теоретической основой комплекса SCAD является метод конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений. Выбор именно этой формы объясняется простотой алгоритмизации и физической интерпретации, возможностью создания единых методов построения матриц жесткости и векторов нагрузок для различных типов конечных элементов, возможностью учета произвольных граничных условий и сложной геометрии рассчитываемой конструкции. Детальное описание метода с подробной аргументацией содержится в многочисленных литературных источниках (см., например, работы [10, 26, 27 и др.]). В этом разделе будет дано лишь конспективное изложение основных расчетных зависимостей.
Напряженно-деформированное состояние каждой материальной точки x конечного элемента, имеющего объем V и поверхность S, описывается векторами напряжений s(x) и деформаций e(x), которые для линейной задачи теории упругости выражаются через вектор перемещений u(x) следующим образом:
где: B – линейный матричный дифференциальный оператор; M – симметричная, положительно определенная матрица упругости закона Гука, зависящая только от жесткостных характеристик материала конструкции.
Полная потенциальная энергия элемента определяется по формуле
где p и q – векторы объемных и поверхностных сил соответственно.
Перемещения u(х) любой точки рассматриваемого элемента приближенно представляются через неизвестные смещения узлов Z выражениями вида
u(õ) =
где: ji(x) – интерполяционные функции, называемые обычно функциями формы, и подчиняющиеся определенным условиям гладкости для обеспечения сходимости метода [26]; F(x) – матрица интерполяционных функций; Ze – вектор всех неизвестных смещений узлов рассматриваемого элемента (индекс “е”).
Подстановкой (19.1) и (19.3) в (19.2) получаем
Ï(å) =1/2 ZeÒ
Выражение (19.4) можно представить в следующем виде
Ï(å) = 1/2 ZeÒK(e)Ze
- feTZe, (19.5)
где: K(e) =
Полная потенциальная энергия системы получается суммированием по всем ее элементам
Ï =
а ее минимизация дает систему разрешающих уравнений МКЭ
KZ = f (19.7)
с глобальной матрицей жесткости K и вектором узловых сил f, полученными путем суммирования соответствующих членов матриц жесткости K(e) и векторов f(e)
отдельных конечных элементов, что является важным преимуществом рассматриваемого подхода.
Для МКЭ в перемещениях известны условия сходимости и оценки погрешности. Условиями сходимости являются линейная независимость и полнота системы базисных функций, а также их совместность (конформность), либо условия, компенсирующие несовместность. Известны легко проверяемые условия, позволяющие установить полноту базисных функций, их совместность или выполнение условий, компенсирующих несовместность. Эти условия имеют вид равенств, которым должны удовлетворять базисные функции на каждом конечном элементе. Такая теоретическая основа позволяет не только исследовать корректность применения известных конечных элементов, но и разработать принципы конструирования новых совместных и несовместных элементов и получить для них оценки погрешности.
Библиотека конечных элементов комплеса содержит большое количество элементов, моделирующих работу различных типов конструкций. Содержатся широко известные элементы стержней, четырехугольные и треугольные элементы для расчета плоского напряженного состояния, плиты, оболочки, элементы пространственной задачи – тетраэдр, параллелепипед, трехгранная призма. В библиотеку включен ряд новых элементов: несовместные треугольные и прямоугольные элементы изотропных и ортотропных плит и оболочек, плит на упругом основании, многослойных плит и оболочек; построенные методом подобластей совместные треугольные и четырехугольные элементы для расчета плоского напряженного состояния, плиты и оболочки, допускающие узлы на сторонах.
Основой этих элементов являются элементы для расчета плоского напряженного состояния с двумя и плиты с тремя степенями свободы в узле. Библиотека содержит изопараметрические элементы для расчета плоского напряженного состояния и пространственные, одномерный и двумерный (треугольный и четырехугольный) осесимметричные элементы. Кроме того, в библиотеке имеются различные специальные элементы, моделирующие связь конечной жесткости, упругую податливость между узлами, нуль-элементы различных видов, элементы, задаваемые численной матрицей жесткости. Все конечные элементы, включенные в библиотеку, теоретически обоснованы, для них имеются оценки погрешности по энергии и по перемещениям. Интегральная погрешность по усилиям оценивается величиной, пропорциональной
